KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberika rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan buku teks ini. Buku teks ini diberi judul “Matematika Smart “.

Buku teks ini disusun dengan tujuan untuk menambah pustaka buku-buku matematika untuk Sekolah Menengah Pertama khususnya kelas IX Semester Gasal. Buku teks ini berisi ringkasan-ringkasan materi, pembahasan soal-soal, dan uji kompetensi untuk siswa.

Penulis menyampaikan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam penulisan buku teks ini. Penulis berharap buku teks yang sangat sederhana ini bermanfaat bagi para pembaca khususnya guru pembimbing dan siswa-siswi Sekolah Menengah Pertama kelas IX Semester Gasal. Akhirnya, tiada gading yang tak retak, penulis senantiasa mengharapkan saran dan kritik yang obyektif dan membangun dari para pembaca untuk lebih menyempurnakan buku teks ini.

                                                                                 Surakarta, Juni 2012

         

                                                                                          Penulis

DAFTAR ISI

Halaman

Kata Pengantar …........……………………………………………………i

Daftar Isi …......……………………………………………….…………..ii

BAB 1 Kesebangunan dan Kekongruenan

1.1 Bangun-bangun yang Sebangun………….........………. .......................1

1.2 Segitiga-segitiga yang Sebangun ………….............…........................ 11

1.3 Segitiga-segitiga yang Kongruen……….....……………..................... 19

Refleksi …………………………………………….....…………............. 34

Rangkuman …………………………………………........……................ 34

Evaluasi Mandiri ….........……………………………..………................. 35

BAB 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung

2.1 Tabung………………...................………………….....….................. 40

2.2 Kerucut…………………………….............…………….................... 47

2.3 Bola…………………………………………................……............... 54

Refleksi …………………………………………………........….............. 60

Rangkuman ……………………………….........……………................... 60

Evaluasi Mandiri …….........………………………………....................... 61

BAB 3 Statistika

3.1 Populasi dan Sampel..............……………........…………................... 66

3.2 Ukuran Pemusatan…………............……………..……….................. 71

3.3 Penyajian Data Statistik………………...............…...…...................... 82

Refleksi ………………………………………………........….................. 86

Rangkuman ………………………………………………........................ 87

Evaluasi Mandiri ………….........………..……………………................. 87

BAB 4 Peluang

4.1 Arti Peluang…………………..................…………………................ 92

4.2 Nilai Peluang Secara Teoritis………......………………................... 103

Refleksi …………………………………………........…………........... 117

Rangkuman ……………………………………...............…….............. 117

Evaluasi Mandiri ………………………………...........……….............. 118

BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

5.1 Pangkat dan Akar .............................................................................. 124

5.2 Operasi Bilangan Berpangkat............................................................. 135

Refleksi …………………………………....……........…………............ 149

Rangkuman ………………………………......….........………............... 149

Evaluasi Mandiri …………………………….......……………............... 150

BAB 6 Barisan dan Deret

6.1 Pola Bilangan...................................................................................... 154

6.2 Barisan Bilangan................................................................................. 164

6.3 Deret................................................................................................... 171

Refleksi ……………………………….....………………………........... 176

Rangkuman …...…………………………...............…………................ 176

Evaluasi Mandiri …..............…………………………………................ 177

Daftar Pustaka.......................................................................................... 179

Bangun Ruang Sisi

Lengkung

Di dalam kehidupan sehari-hari, kamu pasti pernah menemukan benda-benda seperti kaleng susu, nasi tumpeng, dan bola sepak.

Di Kelas VIII, kamu telah mempelajari bangun ruang sisi tegak seperti kubus, balok, prisma, dan limas. Pada bab ini, bangun ruang tersebut akan diperluas dengan mempelajari bangun ruang sisi lengkung, yaitu tabung, kerucut, dan bola.

A.   Tabung

Kaleng-kaleng itu berbentuk tabung. Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi

oleh dua bidang yang berbentuk lingkaran sebagai sisi alas dan sisi atas dan sebuah bidang lengkung yang merupakan sisi tegak yang disebut selimut tabung.

1. Unsur-Unsur Tabung

B

A

P2

P1

Gambar 2.3 .

Tabung memiliki unsur-unsur sebagai berikut.

a.    Sisi alas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran dengan pusat P1, dan sisi atas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran dengan pusat P2.

b.    Selimut tabung, yaitu sisi lengkung tabung (sisi yang tidak diraster).

c.    Diameter lingkaran yaitu ruas garis AB

d.   Jari-jari lingkaran alas (r), yaitu garis P1A dan P1B

e.    Tinggi tabung, yaitu panjang ruas garis P2P1.

2. Luas Permukaan Tabung

Perhatikan kembali Gambar 2.3 . Jika tabung pada gambar tersebut dipotong sepanjang garis AD, keliling sisi alas, dan keliling sisi atasnya, akan diperoleh jaring-jaring tabung seperti pada gambar di bawah ini.

D’

D

A’

A

Selimut tabung pada gambar di atas berbentuk persegipanjang dengan panjang AA'=DD’, keliling alas tabung = 2πr dan lebar AD =A' D' = tinggi tabung = t.

Jadi, luas selimut tabung = luas persegipanjang = p × l = 2πrt.

Luas permukaan tabung merupakan gabungan luas selimut tabung, luas sisi alas,

dan luas sisi atas tabung.

Luas permukaan tabung  = luas selimut + luas sisi alas + luas sisi atas

= 2πrt + πr2 +πr2

= 2πrt + 2πr2

= 2πr (r + t)

Dengan demikian, untuk tabung yang tertutup, berlaku rumus sebagai berikut.

Luas selimut tabung = 22rt

Luas permukaan tabung = 22r (r + t)

LATIHAN SOAL !

1.    Diketahui suatu tabung jari-jari alasnya 7 cm dan tingginya 10 cm. Tentukan luas selimut tabung dan luas permukaan tabung tersebut.

Jawab:

Diketahui : r = 7 cm

t = 10 cm

Ditanyakan : • luas selimut tabung

• luas permukaan tabung

Penyelesaian:

• Luas selimut tabung = 2πrt

= 2 x 22/7 x 7 x 10= 440 cm²

• Luas permukaan tabung = 2πr (r + t)

= 2 x 22/7 x 7 ( 7 + 10 ) = 748 cm²

Jadi, luas selimut tabungnya adalah 440 cm2 dan luas permukaan tabungnya adalah 748 cm².

2.    Diketahui luas selimut suatu tabung adalah 1.408 cm². Jika jari-jari alasnya 14cm, tentukan luas permukaan tabung tersebut.

Jawab :

Diketahui : luas selimut tabung = 1.408 cm²

r = 14 cm

Ditanyakan : luas permukaan tabung

Penyelesaian:

Luas selimut tabung = 2πrt

1.408   = 2 x 22/7 x t

1.408   = 44/7 t

       t    = 16cm

Luas permukaan tabung = 2πr (r + t)

  = 2 x 22/7 x 14 (14 + 16)

  = 2.640 cm²

Jadi, luas permukaan tabung tersebut adalah 1.640 cm²

3. Volume Tabung

Masih ingatkah kamu pelajaran mengenai prisma di Kelas VIII? Pada dasarnya, tabung juga merupakan prisma karena bidang alas dan bidang atas tabung sejajar dan kongruen. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gambar 2.5. Dengan demikian, volume tabung sama dengan volume prisma, yaitu luas alas dikali tinggi. Oleh karena alas tabung berbentuk lingkaran, volume

tabung dinyatakan sebagai berikut.

Volume tabung = luas alas × tinggi

  = πr²t

Contoh :

Diketahui        : luas permukaan tabung = 1.406,72 cm² r = 8 cm.

Ditanyakan      : tinggi (t)

Penyelesaian    :

Luas permukaan tabung = 2πr (r + t)

1.406,72  = 2 x 3,14 x 8  (8 + t)

  = 50,24 (8 + t)

  = 401,92 + 50,24  t

50,24  t = 1.004,8

  t = 1 004 8 : 50, 24

    = 20

Jadi, tinggi tabung tersebut adalah 20 cm.

3. Volume Tabung

Masih ingatkah kamu pelajaran mengenai prisma di Kelas VIII? Pada dasarnya, tabung juga merupakan prisma karena bidang alas dan bidang atas tabung sejajar dan kongruen. Dengan demikian, volume tabung sama dengan volume prisma, yaitu luas alas dikali tinggi. Oleh karena alas tabung berbentuk lingkaran, volume

tabung dinyatakan sebagai berikut.

Volume tabung = luas alas × tinggi

              = πr²t

Diketahui jari-jari alas suatu tabung adalah 12 cm. Jika tinggi tabung tersebut 10cm, tentukan volume tabung tersebut.

Jawab :

Diketahui : r = 12 cm

t = 10 cm

Ditanyakan : volume tabung

Penyelesaian:

Volume tabung = πr²t

= 3,14 x (12) ² x 10 = 4.521,6 cm³

Jadi, volume tabung tersebut adalah 4.521,6 cm³

Uji Kompetensi :

1.    Diketahui suatu tabung memiliki jari-jari 4 cm. Jika tinggi tabung tersebut 16,5 cm, tentukan luas selimut tabung tersebut.

2.    Luas selimut suatu tabung 628 cm². Tentukan tinggi tabung tersebut jika diketahui jari-jari alasnya 10 cm.

3.    Hitunglah luas permukaan suatu tabung yang memiliki jari-jari 7 cm dan tinggi 12 cm. Sebuah tabung tanpa tutup memiliki jari-jari 6,5 cm dan tinggi 18 cm. Tentukan luas permukaan tabung tersebut.

4.    Diketahui jari-jari alas sebuah tabung 28 cm. Jika tingginya 20 cm, tentukan volume tabung tersebut.

5.    Sebuah tabung memiliki volume 192,5 cm³. Jika tinggi tabung tersebut adalah 0,5 dm, tentukan panjang jari-jari alasnya.

6.    Diketahui sebuah tabung memiliki luas selimut 7.536 cm². Tentukan volume tabung tersebut jika tingginya 40 cm.

B.   KERUCUT

Perhatikan gambar dibawah ini:

Pernahkan kalian melihat benda ini?

Jika kita cermati bentuknya, benda tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang sisi lengkung yaitu kerucut.

Kerucut merupakan bangun ruang sisi lengkung yang menyerupai limas segi-n beraturan yang bidang alasnya berbentuk lingkaran. Kerucut dapat dibentuk dari sebuah segitiga siku-siku yang diputar sejauh 360°, di mana sisi siku-sikunya sebagai pusat putaran.

1.  Unsur-Unsur Kerucut

Amatilah Gambar diatas  Kerucut memiliki unsur-unsur sebagai berikut.

1.    Sisi alas berbentuk lingkaran berpusat di titik A.

2.    AC disebut tinggi kerucut.

3.    Jari-jari lingkaran alas, yaitu AB dan diameternya BB' = 2AB.

4.    Sisi miring BC disebut apotema atau garis pelukis.

5.    Selimut kerucut berupa bidang lengkung.

Dari uraian di atas, diperoleh bangun-bangun yang memiliki bidang lengkung dan bidang datar. Bidang lengkung dari bangun-bangun tersebut berupa selimut dan bidang datarnya berupa lingkaran.

2.    Menghitung Luas Selimut dan Volume Kerucut

Dapatkah kalian menghitung luas bahan yang diperlukan untuk membuat kerucut dengan ukuran tertentu? Perhatikan uraian berikut.

a. Luas Selimut

Dengan memerhatikan gambar, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan kerucut atau luas sisi kerucut merupakan jumlah dari luas juring ditambah luas alas yang berbentuk lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan jaring-jaring kerucut ini.   

Busur AB = keliling lingkaran alas kerucut = 2πr.

Luas lingkaran dengan pusat T dan jari-jari s = πs2 dan kelilingnya = 2πs

Jadi luas juring TAB atau luas selimut kerucut dapat ditentukan.

Luas juring TAB    =  Luas busur AB

Luas Lingkaran          Keliling lingkaran

Luas juring TAB     =           2πr

        2πr                              2πr

Luas juring TAB      =  πr² x 2πr

                                        2πr

                                 =  πrs

Karena luas selimut kerucut sama dengan luas juring TAB

maka kita dapatkan:

Luas selimut = πrs      

Sedangkan luas permukaan kerucut = luas selimut + luas alas kerucut

= πrs + πr²

= πr (s + r)

Jadi,  Luas permukaan kerucut = πr(s + r)

dengan r = jari-jari lingkaran alas kerucut

            s = garis pelukis (apotema)

b.  Volume Kerucut

Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran. Oleh karena itu kita dapat merumuskan volume kerucut sebagai berikut.

V = πr2t

Hubungan antara r, t dan apotema (s) adalah s² = r² + t²

Contoh :

1.    Diketahui jari-jari alas kerucut 8 cm dan tinggi kerucut 15 cm. Tentukan:

a.    luas selimut kerucut

b.    luas permukaan kerucut.

Penyelesaian:

a.    Luas selimut kerucut = πrs

   = 3,14 × 8 × 15

   = 370,8 cm²

b.    luas permukaan kerucut = πr (r + s)

        = 3,14 × 8 × (8 + 15)

        = 25,12 × 23

        = 577,76 cm2

2.    Sebuah es krim dimasukkan dalam wadah yang berbentuk kerucut dengan diameter 5 cm dan tinggi 15 cm. maka volum es krim dalam wadah adalah …..

Jawab :

Diketahui d=5 cm dan t=15 cm

Ditanya : volum es krim..?

Volum  = 1/3 Лr²t

 = 1/3 x 3.14 x 5/2 x5/2 x 15

             = 98.125 cm³

Latihan soal :

1.    Carilah volume dan luas sisi kerucut berikut, dengan π = 3,14.

          

2.    Jari-jari alas suatu kerucut 7 cm dan panjang garis pelukisnya 13 cm.

Hitunglah :

a.    Tinggi kerucut

b.    Volume kerucut

c.    Luas sisi kerucut.

3.    Rini akan mengadakan pesta ulang tahun. Ia akan membuat topi ulang tahun yang berbentuk kerucut. Bila tinggi topi 16 cm dan jari-jarinya 12 cm,berapakah luas kertas yang dibutuhkan untuk membuat satu topi?

4.    Volume suatu kerucut 1.256 cm3. Jika tinggi kerucut 12 cm dan π = 3,14, hitunglah panjang jari-jari kerucut itu!

5.    Suatu kerucut dibentuk dari selembar seng yang berbentuk setengah lingkaran yang berdiameter 14 m. Hitunglah:

a.    jari-jari alas

b.    tinggi kerucut.

C.   Bola

Bola merupakan bangun ruang sisi lengkung yang dibatasi oleh satu bidang lengkung. Bola dapat dibentuk dari bangun setengah lingkaran yang diputar sejauh 360° pada garis tengahnya.

							D
				B

 

1.    Unsur-Unsur Bola

Bola adalah bangun ruang yang hanya memiliki satu sisi dan tidak memiliki rusuk. Unsur-unsur bola dapat diuraikan sebagai berikut.

a.    Titik O dinamakan titik pusat bola.

b.    Ruas garis OA dinamakan jari-jari bola. Sebutkan jari - jari bola lainnya.

c.    Ruas garis CD dinamakan diameter bola. Jika kamu amati, ruas garis AB juga merupakan diameter bola. AB dapat pula disebut tinggi bola.

d.   Sisi bola adalah kumpulan titik yang mempunyai jarak sama terhadap titik O. Sisi tersebut dinamakan selimut atau kulit bola.

e.    Ruas garis ACB dinamakan tali busur bola. Sebutkan tali busur bola lainnya.

f.      Ruas-ruas garis pada selimut bola yaitu ACBDA dinamakan garis pelukis bola.

2.    Luas Permukaan Bola

Untuk mengetahui luas permukaan bola, lakukanlah kegiatan berikut dengan kelompok belajarmu.

a.    Sediakan sebuah bola berukuran sedang, misalnya bola sepak, benang kasur,karton, penggaris, dan pulpen.

b.    Ukurlah keliling bola tersebut menggunakan benang kasur.

c.     Lilitkan benang kasur pada permukaan setengah bola sampai penuh, seperti pada gambar di bawah ini.

 

d.   Buatlah persegipanjang dari kertas karton dengan ukuran panjang sama dengankeliling bola dan lebar sama dengan diameter bola seperti pada gambar di bawah ini.

 

e.    Lilitkan benang yang tadi digunakan untuk melilit permukaan setengah bola pada persegipanjang yang kamu buat tadi. Lilitkan sampai habis.

 

f.     Jika kamu melakukannya dengan benar, tampak bahwa benang dapat menutupi persegipanjang selebar jari-jari bola (r).

g.    Hitunglah luas persegipanjang yang telah ditutupi benang. Dapatkah kamu menemukan hubungannya dengan luas permukaan setengah bola?

Dari Kegiatan di atas,  jelaslah bahwa luas permukaan setengah bola sama dengan luas persegipanjang.

Luas permukaan setengah bola = luas persegipanjang

= p × l

= 2πr× r

= 2π r²

Sehingga, luas permukaan bola = 2 × luas permukaan setengah bola

 = 2 × 2πr²

          = 4πr²

Jadi, luas permukaan bola dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.

Luas permukaan bola = 4πr²

CONTOH:

1.    Diketahui sebuah bola dengan jari-jari 7 dm. Tentukan luas permukaan bola tersebut.

Jawab:

Diketahui: r = 7 dm

Ditanyakan: luas permukaan bola

Penyelesaian:

Luas permukaan bola = 4 r²

= 4 x  x 7²

= 616

Jadi, luas permukaan bola tersebut adalah 616 dm²

2.    Jika luas permukaan suatu bola 154 cm², tentukan panjang jari-jari bola tersebut.

Jawab:

Diketahui : luas permukaan bola = 154 cm²

Ditanyakan : panjang jari-jari (r)

Penyelesaian:

Luas permukaan bola = 4πr2

154 = 4 x  x r²

r²    =  = 12,25

r     =  = 3,5

Jadi, panjang jari-jari bola tersebut adalah 3,5 cm

Latihan Soal

1.      Tentukan luas permukaan sebuah bola yang berdiameter 56 mm.

2.      Sebuah bangun berbentuk belahan bola padat memiliki jari-jari 10 cm. Tentukan luas permukaan bangun tersebut.

3.      Hitunglah luas permukaan setengah bola padat yang berjari-jari 14 mm.

4.      Suatu bola memiliki luas permukaan 803,84 cm2. Tentukan panjang jari-jari bola tersebut.

5.      Diketahui sebuah bola memiliki panjang jari-jari 5 cm. Hitunglah luas permukaan bola tersebut.

3. Volume Bola

Gambar diatas merupakan gambar setengah bola dengan,jari-jari r. dan menunjukkan dua buah kerucut dengan jari-jari r dan tinggi r. Jika dilakukan percobaan dengan menuangkan cairan pada kedua kerucut sampai penuh, kemudian cairan dari kedua kerucut tersebut dituangkan dalam setengah bola maka cairan tersebut tepat memenuhi bentuk setengah bola. Dari percobaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :

Volume bola = ⁴/₃πr³ dengan r = jari-jari bola. Karena r = ¹/₂ d maka bentuk lain rumus volume bola adalah sebagai berikut.

Contoh soal :

1.    Hitunglah volume bola yang memiliki jari-jari 9 cm.

Jawab:

Diketahui: r = 9 cm

Ditanyakan: volume bola

Penyelesaian:

Volume bola =  x pr³ =  x 3 , 1 4 . (9)³= 3.052,08

Jadi, volume bola tersebut adalah 3.052,08 cm³.

2.    Diketahui volume sebuah bola adalah 38.808 cm³. Tentukan diameter bola tersebut.

Jawab :

Diketahui: volume = 38.808 cm³

Ditanyakan: diameter (d)

Penyelesaian :

Volume =πr3

  38.808 =  x  x r³

 =  x r³

r = 38.808 ×  

= 9.261

r =  = 21

Oleh karena panjang diameter adalah dua kali panjang jari-jarinya.

Jadi d = 2r =2· 21 = 42.

Jadi, diameter bola tersebut adalah 42 cm

Latihan Soal

1.    Diketahui volume udara yang dimasukkan ke dalam sebuah bola sepak plastik adalah 4.846,59 cm³. Tentukan panjang jari-jari bola sepak tersebut.

2.    Tentukan volume bola yang memiliki:

a.       r = 5 cm

b.      r = 4,2 cm

c.       d = 12 cm

3.    Hitunglah volume sebuah bola yang memiliki jarijari 3 dm.

4.    Diketahui volume sebuah bola adalah 381,51 cm3. Tentukan panjang jari-jari bola tersebut.

5.    Sebuah bola dimasukkan ke dalam tabung. Jika diameter bola sama dengan diameter tabung, yaitu 12 cm, dan tinggi tabung sama dengan 20 cm, tentukan volume tabung di luar bola.

DAFTAR PUSTAKA

Djumanta, Wahyudin. 2008. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan. Jakarta: Pusat Perbukuaan Departemen Pendidikian Nasional.

Sulaiman, dkk. 2008. Matematika Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Masduki, Ichwan Budi Utomo. 2007. Matematika IX Untuk SMP dan MTs Kelas IX. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Agus, Nuniek Avianti. 2007. Mudah Belajar Matematika. Jakarta : Pusat Perbukuan Pendidikan Nasional.